ニュートンの運動方程式

ここで、改めて「振動工学」についてまとめておきたいと考えています。まずは、ニュートンの運動方程式から。

ニュートンの運動方程式とは、古典力学において、物体の運動を記述する微分方程式のこと。ニュートンの運動の第二法則を式で表わしたもので、質点の運動の様子を決める微分方程式である。

　一般に　F＝ｍa=dv/dt=d^2x/dt^2と書ける。

Ｆは力、mは物体の質量、aは加速度、vは速度、xは物体の位置で2階微分したものが加速度になる。

・物体の質量mと位置ｘがわかれば物体に働く力Ｆが求まる。

・物体に働く力Ｆがわかれば、積分して位置ｘ を時間ｔの関数として求めることで、運動状態がわかる。

＊ニュートンの３つの運動法則とは？

第一法則：静止あるいは等速度運動中の物体は外力が加わらないかぎりその状態を続ける（慣性の法則）。

第二法則：物体の加速度は加わる力の大きさに比例し、物体の質量に反比例する。 第三法則：二つの物体が相互に及ぼす力は大きさが等しく、方向は反対（作用反作用の法則）。

ばね‐質量系における運動方程式

ばねが自然長の時の物体の位置を0、ばねが伸びる方向を正の向きとすると、ばねはフックの法則に従うため、物体の変位をx、物体の質量m、物体がばねから受ける力をFとすると伸びと反対方向（負の方向）に引かれるので、

（kはバネ定数）

一方、物体の加速度を２階微分で表すと、 ニュートンの運動方程式は、

よって

微分方程式の解き方はこのページあるいはこのページを見てください。

この微分方程式の一般解は

A,ω,φは定数で、固有角振動数は、

　

である。

ギターにおけるボディの振動解析は、これを基本としています。

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