純正律と平均律

あまり深入りしたくない話題です。平均律と純正律の間のチューニングのギャップは私にとって不快ではなく、さらに合わせようとするとキリがないからです。

純正律は、ピタゴラスが発見した美しく響きあう音の組み合わせで、単純な整数比であらわされます。

１オクターブ上の音は２倍の周波数なので周波数比は２：１です。これらの音は濁りなく聞こえます。さらに周波数比を３：２にしても綺麗に聞こえる（五度）ことを発見しました。さらに２：１（オクターブ）と３：２（五度）の比率のみを使用してスケールを構築できると考えました。

　オクターブ（2:1）上げて、次に五度（2：1 x 2：3 = 4：3）下げて四度を得て、次に五度からさらに五度上げ、オクターブを下げて（3：2 x 3：2 x 1：2 = 9：8）二度を得ました。

　二度から五度上げることで（9：8 x 3：2 = 27:16）六度を得て、ここから五度上げ、１オクターブ下げる（27:16ｘ3：2ｘ1：2= 81:64）ことで三度を得ました。 三度からさらに五度上げて（81:64 x 3：2 = 243：128）、七度を得ました。

(Contemporary Acoustic Guitar Design and Build: design  3.2.1.3.より）

周波数比が３：２の音を作っていき、ちょうど１オクターブ上の音に達したところで終わりにしたいのですが、２と３は素数なので繰り返しても元の数に戻ることはありません。

計算をしていくと、１２回の五度上げ、７回のオクターブ下げで元の音に近い音になります。この時の誤差が23.46セント（ピタゴラスのカンマ）でこれを許容してここまでで１オクターブと決めました。（セントは半音の1/100、つまりオクターブの1/1200です。xセントの間隔を周波数比に変換するには、2 ^ x / 1200。 周波数比をセントに変換するには、1200 log 2（周波数比）です。１２回の５度上げと７回のオクターブ下げ：（3/2）^ 12 x（1/2）^7= 1.013643264770これをセントに変換すると：1200 log 2（1.013643264770）= 23.460010384セント。）

つまり、音が１２音というのは完全な理論ではなく、実際の妥協点です。

さて、このスケールにはいくつか問題があります。各キー間が一定でないため、移調ができません。そこで、すべての間隔が等しくなるように、音階の周りにピタゴラスのカンマを分布させるように決定しました。これを平均律といいます。

スケールは対数なので、オクターブ間の上方への移動は周波数の２倍になるため、半音間はオクターブの12分の1である必要があります。ある音f0からn番目の半音までの周波数は、

fn=2^(n/12)*f0

で、f12(オクターブ)は周波数が２倍になります。

ギターでいえば弦の長さが約1.06倍（正確には2^(1/12)=1.0594630943592952645618252949463….）の位置にフレットを打っていけば、半音下がることになるので、６弦共通でフレットがまっすぐになります。

ギターは平均律楽器で和音に濁りが出ます。平均律は和音の濁りを許容して演奏性を重視したものです。

ハーモニックスは弦の共鳴を利用したもの（純正律の音）なので、これで調弦すべきではないということもいわれます。

私を含め、多くの人は、本当にチューニングを合わせたいときには、特定のコードを演奏したときにチューニングを合わせるようにしています。しかしこれは、平均律ですべてのずれを均等に割り振り、調律された楽器を強制的に合わせているわけで、どこかにそのしわ寄せが来ていることを認識しておくべきだと思います。

平均律での和音のズレもありますが、ギター特有のズレの原因もあります。

ピアノも平均律で調律されていますから、目標（平均律）からのズレはないですが、

ギターの調律にはフレットがあり、12フレットを押さえたオクターブが、12フレットの位置のハーモニックと正確に一致するまで、弦を長くして補正します。つまり一般に12番目のフレットでのみイントネーションを修正するため、低いフレットの位置で演奏される音がシャープに演奏されることになります。これを補正するには、サドルとナットの両方で補正を行うことにより、ピッチ精度を実現する方法がありますが、別の機会にしようと思います。

参考ページ：平均律とクラシックギター　純正律はなぜ使われないのか